![]()
38
| 3 | 2009
Klinisk Biokemi i Norden
Variansen for en pipettering er 4 (tilsvarer et stan-
dardavvik på 2 µl og en CV på 2%). Usikkerheten er
normalfordelt. Samlet usikkerhet/varians for begge
pipetteringer blir 8 (tilsvarer et standardavvik på 2,8
µl og en CV på 2,8%). Usikkerheten er normalfordelt
og vi kan lage et 95% konfidensintervall på 200 ±
1,96·2,8.
Vi kan i dette tilfelle si at hver pipettering bidrar
med 50% til totalvariansen.
To avhengige variabler
Total PSA (tPSA) og fritt PSA (fPSA) analyseres på
samme instrument og internkontroller stammer van-
ligvis fra samme prøveglass. Når total PSA er høyt
er derfor sannsynligheten større for at fritt PSA også
er høyt enn for at fritt PSA vil være lavt. Vi har en
positiv kovarians. Vi beregner nå konsentrasjonen av
kompleksbundet PSA (cPSA) som differensen mel-
lom total PSA og fritt PSA (cPSA = tPSA – fPSA).
Eksempel:
Vi måler tPSA til 10 µmol/L med en analy-
tisk CV på 4% (standardavviket er da 0,4 og variansen
0,16) og fPSA til 4 µmol/L med en analytisk CV på
5% (standardavviket er da 0,2 og variansen 0,04).
Med en korrelasjonskoeffisient på 0,5 blir kovariansen
0,5·0,2·0,4 = 0,04. cPSA blir 10 – 4 = 6 µmol/L med
variansen 0,04 + 0,16 – 2·0,04 = 0,12 (standardavviket
er da 0,35 og analytisk CV 5,8%).
I et usikkerhetsbudsjett har vi at variansen for tPSA
er 0,16, variansen for fPSA 0,04, og kombinasjonen av
tPSA og fPSA har variansen 0,08 som her skal trekkes
fra (siden vi beregner differensen) for å få totalvari-
ansen 0,12. Vi kan uttrykke dette som at tPSA bidrar
med 133%, fPSA med 33% og kombinasjonen av
tPSA og fPSA med -66% til totalvariansen (100%).
Ikke normalfordelte variabler
Ved avrunding oppstår en usikkerhet med rektangu-
lær/uniform fordeling.
Det går fint å legge sammen variansene fra en
variabel med normalfordeling og en variabel med
rektangulær fordeling. Resultatvariabelen får dog
en fordeling som er ”summen” av disse fordelinger
(vi kaller en slik ”summert” fordeling for foldet (no)/
faltad (sv)/ convoluted (eng)) og som her verken har
normalfordeling eller rektangulær fordeling (Figur 1).
Vi kjenner størrelsen på variansen, men siden vi ikke
kjenner formen til denne fordelingen, er vi ikke i
stand til å beregne konfidensintervaller.
Ofte løses dette ved å approksimere den rek-
tangulære fordelingen (siden avrundingsfeilen ofte
er liten) med en normalfordeling. En rektangulær
fordeling som oppstår ved avrunding til heltall har
variansen 1/12 og kan approksimeres med en nor-
malfordeling med samme varians.
Andre regnesett enn pluss og minus
Alle funksjoner kan approksimeres av et polynom,
såkalt Taylor-ekspansjon. Førsteordens approksima-
sjon av en funksjon er:
Her tenker vi oss x som målevariabelen med usik-
kerhet, µ som måleresultatet og f(x) som en beregnet
størrelse. Vi beregner variansen av begge ledd:
Siden f(µ) og f ’(µ)·µ er konstanter (med variansen 0)
kan dette forenkles til:
og siden
Var(aX) = a
2
Var(X)
for en konstant
a
har vi:
Husk at
også kan skrives som
og i GUM skri-
ves gjerne derfor uttrykket som:
( )
For to variabler har vi:
(
)
(
)
( )
.
( )
og for tre variabler:
( )
( )
( )
( )
.
( )
(
)
.
( )
(
)
.
( )
(Fortsat fra side 37)
